俺たちだ！！！
黒 2014-02-06 22:32:57 |
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熊しいの言ってた階差数列☆
次の漸化式解け
a1=2, a(n+1)=2an+4^(n+1) [n=1,2,...]
a[n+1] = Aa[n] + B^n
といった漸化式の両辺を、
A^(n+1) で割ると、漸化式を階差数列の形に運ぶことができる。
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4^(n+1)を2^(n+1)で割ると、
(4/2)^(n+1) = 2^(n+1) となる。
よって、①の両辺を 2^(n+1) で割ると、
a[n+1] / 2^(n+1) = 2a[n] / 2^(n+1) + 2^(n+1)
a[n+1] / 2^(n+1) = 2a[n] / (2*2^n) + 2^(n+1)
a[n+1] / 2^(n+1) = a[n] / 2^n + 2^(n+1)
と、ここまで漸化式を変形した上で、
b[n] = a[n] / 2^n とすると、
b[n+1] = a[n+1] / 2^(n+1) なので、
b[n+1] = b[n] + 2^(n+1)
b[n+1] - b[n] = 2^(n+1)
よって、b[n]の階差数列は2^(n+1)である。
b[1] = a[1] / 2 = 1 なので、
n≧2のとき、
b[n] = 1 + Σ【k=1→n-1】 2^(n+1)
Σ【k=1→n-1】 2^(n+1) は、
初項4、公比2、項数n-1の等比数列の和であるから、
b[n] = 1 + 4｛ 2^(n-1) - 1 ｝/(2-1)
b[n] = 1 + 4｛ 2^(n-1) - 1 ｝
b[n] = 1 + 4*2^(n-1) - 4
b[n] = 2^(n+1) - 3
b[1]=1より、n=1のときも成り立つ。
したがって、
b[n] = 2^(n+1) - 3
b[n] = a[n] / 2^n より、
a[n] = b[n] * 2^n
a[n] = ｛2^(n+1) - 3｝* 2^n
a[n] = 2^(2n+1) - 3*2^n
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